第 5 章转动能损率和磁偶极模型

用周期和周期导数把自转能损、磁场、制动指数与特征年龄连到一起，建立最经典的脉冲星参数框架。

1，转动能损率的导出

中子星是在核能源已经耗尽的情况下引力坍缩的产物。它仍然具有很高的温度，热能将以黑体辐射的形式辐射出去, 但是这种能量通过各种冷却过程而耗散，不可能是脉冲星的主要能源。

脉冲星的引力特别强。如果它是双星系统的成员，而且伴星不是致密星时，伴星的物质有可能被吸积到脉冲星上，这些物质的引力势能就会转化为别的能量形式(比如热能)而释放出去，X射线脉冲双星的辐射就是属于这种情形。大多数脉冲星不是双星系统，当然就没有这种形式的能量。大多数脉冲双星系统的伴星是白矮星和中子星，也没有这种能量。所以引力能不是脉冲星的主要能源。

脉冲星快速自转表明它具有巨大的转动能。观测发现几乎所有的脉冲星的周期都缓慢地变长。对于周期变化最快的几颗脉冲星，在几小时或几天中就可以检测出来。周期变长，说明脉冲星的自转越来越慢，它的转动能不断地被消耗掉。

脉冲星绕着它的自转轴快速旋转着。处在脉冲星不同地方的质量元的角速度是一样的，但离质量中心的距离是不同的，因而线速度也是不同的。脉冲星的转动能等于全部质量元的动能的总和，设线速度为v，角速度为Ω，则动能

E _ {r o t} = \sum_ {i} \frac {1}{2} m _ {i} V _ {i} ^ {2} = \frac {1}{2} \sum_ {i} \left(m _ {i} r _ {i} ^ {2}\right) \Omega^ {2} = \frac {1}{2} I \cdot \Omega^ {2} = 2 \pi^ {2} I \cdot P ^ {- 2} \tag {5.1}

式中I为转动惯量。假定脉冲星是一个均匀的球体，自转轴通过球心，则转动惯量可写为

I = \frac {2}{5} M R ^ {2} \tag {5.2}

其中M为脉冲星的质量，取为一个太阳质量，R为半径，取为10千米，则可以算出转动惯量的数值。通常取 $1 0 ^ { 4 5 }$ 克厘米。脉冲星的转动能量是极其巨大的。由于中子星没有核2能源，能量损耗只能来源于恒星转动能的减少，从而导致自转减慢，周期变长。由(5 .1)式可以导出转动能损率的公式

\frac {d E _ {\text {r o t}}}{d t} = - 4 \pi^ {2} I \dot {P} P ^ {- 3} \tag {5.3}

它和周期变率成正比，和周期的3次方成反比。在已知的706颗脉冲星中，除3颗外，周期变化率都是正的。脉冲星的周期变化率的差别特别大，达到8个数量级。年青脉冲星的周期变化率都比较大，年老的则比较小，最小的要数毫秒脉冲星。

计算结果表明，脉冲星的转动能损率很大，它不仅当仁不让地成为脉冲星辐射的能源，也成为脉冲星所在的超新星遗迹的能源提供者。周期变率最大的要数蟹状星云的脉冲星 $\mathsf { P S R 0 5 3 1 } + 2 1$ ，它的 $\stackrel { \zeta } { P ^ { + } } 4 2 2 \times 1 0 ^ { - 1 5 } s / s$ ,变化最慢的则是毫秒脉冲星，如PSR $1 9 5 3 + 2 1$ 的变率 $\stackrel { \zeta } { P ^ { * } } = 3 . 1 6 \times 1 0 ^ { - 1 9 } s / s$ 。

表1给出十颗脉冲星的周期、周期变化率和转动能损失率。

<table><tr><td>PSR</td><td>P(sec)</td><td>lg p(s/s)</td><td>lg dE/dt</td></tr><tr><td>1509-58</td><td>0.150</td><td>-11.8</td><td>37.25</td></tr><tr><td>1737-30</td><td>0.607</td><td>-12.3</td><td>34.92</td></tr><tr><td>0531+21</td><td>0.033</td><td>-12.4</td><td>38.65</td></tr><tr><td>1916+14</td><td>1.181</td><td>-12.7</td><td>33.70</td></tr><tr><td>0833-45</td><td>0.089</td><td>-12.9</td><td>36.84</td></tr><tr><td>1937+21</td><td>0.00156</td><td>-19.0</td><td>36.04</td></tr><tr><td>1620-26</td><td>0.011</td><td>-18.1</td><td>34.37</td></tr><tr><td>1953+29</td><td>0.0061</td><td>-19.5</td><td>33.70</td></tr><tr><td>1855+09</td><td>0.0054</td><td>-19.8</td><td>33.66</td></tr><tr><td>1821-24</td><td>0.0031</td><td>-17.8</td><td>36.35</td></tr></table>

2，蟹状星云能源之谜

早在脉冲星发现之前，蟹状星云能量来源问题使天文学家困惑多年，为了解脱这个困境，有的天文学家猜测蟹状星云中可能有一颗中子星，并对蟹状星云进行了多次仔细地观测搜寻，一直未能发现。这个“蟹状星云能源之谜”一直到这颗脉冲星的发现才得到解决。

蟹状星云是一个著名的超新星遗迹。现在人们简称为“ M1" 天体。这是一个非常明亮的椭圆形星云，它是由弥漫物质组成。从其边缘各处伸出长长的纤维形状物质，其形状好象螃蟹的腿，因此被称为蟹状星云。这个星云不同于由星际介质密集在一起而形成的弥漫星云。1928年美国天文学家哈勃首次提出，蟹状星云是一次超新星爆发后的产物。

在1054年的中国古籍上记载了一次十分壮观的超新星爆发。当时人们在白天能用肉眼

看到这个突然出现的“客星”，非常明亮，持续了三个星期。后来慢慢地变暗，但在夜晚用肉眼仍能看到达2年之久。亮度极大时可和金星亮度相比。在经过位置，年龄和距离的考证以后，天文学家确信，中国古籍记载的1054“客星” 就是一次超新星爆发，它所留下的遗迹就是蟹状星云。尽管它的距离远至6300光年，但在各个波段的辐射，从射电、光学，到X射线、γ射线都很强，是最容易观测的超新星遗迹之一。现代天文学家对蟹状星云给以特殊的关注。

1949年射电天文学家确认蟹状星云是一个射电源。射电流量密度大于可见光。观测发现蟹状星云在膨胀，每年大约0.2角秒左右。而且膨胀速度在加快。能源从何而来？后来又发现了X和γ射线辐射。频率范围从 $1 0 ^ { 7 } - 1 0 ^ { 2 0 }$ 赫兹。是一个全波段天体。我们把蟹状星云所有频率上的辐射加起来，得出其总辐射功率为 $1 0 ^ { 3 8 }$ 尔格/秒，相当于十万个太阳的辐射。蟹状星云是一团稀薄的气体，如此强的辐射，能量由谁来提供？研究表明蟹状星云的辐射是非热的，是由高能电子在磁场中运动而产生的。超新星爆发时产生的高能电子因辐射而损失能量，早已成为低能电子了。那么高能电子是怎样产生的？一连串的问题等待回答。蟹状星云脉冲星的发现解开了这个谜。

蟹状星云脉冲星（PSR0531＋21）是一颗特殊的脉冲星，它处在蟹状星云之中。它不仅发射射电脉冲，而且还发射光学，X射线和γ射线脉冲。总的辐射功率高达 $1 0 ^ { 3 6 }$ 尔格/秒。我们熟知的太阳，它的光度才有 $3 . 8 6 2 \times 1 0 ^ { 3 3 }$ 尔格/秒。这颗脉冲星的转动能损率更高，达到 $4 . 6 4 \times 1 0 ^ { 3 8 }$ 尔格/秒，远远超过它的各个波段辐射的总功率，也比蟹状星云所需的能量损失要大几倍，作为蟹状星云的能源是足够的。由于脉冲星能够源源不断地产生高能电子，它给蟹状星云提供高能电子也是不成问题的。

脉冲星的发现成功地解决了这个有名的“难题”。

二，磁偶极辐射模型和磁场的估计

上节介绍了脉冲星的转动能损率，它又称之为脉冲星的总光度，意思是脉冲星最大可能的光度。转动能损率的公式是

\frac {d E _ {\text {r o t}}}{d t} = I \cdot \dot {\Omega} \Omega = - 4 \pi^ {2} I \dot {P} P ^ {- 3} \tag {5.4}

脉冲星被证认为高速自转的磁中子星，因此它们必然有磁偶极辐射。一个旋转周期为P的垂直磁矩为 $\mu _ { \perp }$ 的磁偶极子的磁偶极辐射功率为

\frac {d E}{d t} = W _ {d} = - \frac {3 2 \pi^ {4}}{3 c ^ {3}} \frac {\mu_ {\perp} ^ {2}}{p ^ {4}} = - \frac {3 2 \pi^ {4}}{3 c ^ {3}} \frac {R _ {o} ^ {6} B _ {\mathrm {m a x}} ^ {2}}{p ^ {4}} \tag {5.5}

\mu_ {\perp} = R _ {o} ^ {3} B _ {\text {m a x}} \tag {5.6}

其中R。为中子星半径 $[ 1 0 \ k m )$ ， $B _ { \mathrm { m a x } }$ 为中子星表面的极大磁场， $\mu _ { \perp }$ 为垂直磁矩。

著名的磁偶极模型就是假定脉冲星所损失的自转能全部转变为磁偶极辐射，从而导出一系列重要结论。首先，脉冲星的磁场被估计出来了。

根据磁偶极模型，磁偶极辐射功率等于自转能损率，故有

\frac {3 2 \pi^ {4}}{3 c ^ {3}} \frac {R _ {o} ^ {6} B _ {\max } ^ {2}}{p ^ {4}} = 4 \pi^ {2} I \dot {p} p ^ {- 3} \tag {.5.7}

式中除了磁场外都是常数和观测量，因此可以由上式计算出磁场来。

B _ {\max } ^ {2} = \frac {1}{c _ {2}} \frac {\dot {P} P}{\sin^ {2} \alpha} \tag {5.8}

其中 $c _ { 2 } = 1 0 ^ { - 3 8 } G ^ { - 2 } s$ ， $\alpha$ 是磁倾角，其值并不都是90度，故磁场还是磁倾角的函数。目前脉冲星星表上给出的磁场值，是假定磁倾角为90度时的值。平均来说脉冲星的磁场具有 $1 0 ^ { 1 2 }$ 高斯的超强磁砀。当我们用强磁场中的同步辐射来解释武仙座X-1(Her-X1)的X射线谱线时，可以推得磁场约为 $6 \times 1 0 ^ { 1 2 }$ 高斯，从而支持磁偶极模型的推论。毫秒脉冲星具有很低的磁场(最低达 $1 0 ^ { 8 }$ 高斯)，这是磁场衰减的演化结果。

光速园柱处的磁场也是一个重要的物理量，曾用来作为辐射是否能产生的判据和辐射区部位讨论的依据。光速园柱是指磁层跟随中子星共转的最大可能半径所构成的园柱 $\left. r _ { c } = c p / 2 \pi \right.$ 。对于磁偶极场，磁场和距离的立方成反比，故可由表面极大磁场推出光速园柱处的磁场。

B _ {c} ^ {2} = \frac {2 4 \pi^ {4} I \dot {p} p ^ {- 5}}{\sin^ {2} \alpha} \tag {5.9}

三，制动指数

一般地，假定自转频率变慢的规律是角速度的幂律形式

\dot {\Omega} = - k \cdot \Omega^ {n} \tag {5.10}

K为常数，n为制动指数，由磁偶极模型可给出

\dot {\Omega} = - \frac {2}{3} \frac {\mu_ {\perp} ^ {2}}{I} \Omega^ {3} \tag {5.11}

从上式得知磁偶极模型的制动指数为3。由(5 .10)式可以推导出

\pi = \frac {\Omega \Omega}{(\Omega) ^ {2}} \tag {5.12}

观测可以给出ΩΩ和 $\Omega$ 的值，因此制动指数是一个可由观测确定的量。由PSR0531+21的5年的观测资料（1969年到1974年）分析给出 $\eta = 2 . 2 \pm 0 . 0 5$ 。这和磁偶极模型比较接近。我们在1983年的研究指出，在计算制动指数时假设公式中的K为常数是不对的，事实上K是磁矩，磁倾角和转动惯量的函数。其中的参数磁倾角是在演化着的。我们推导出磁倾角是个变量时的公式

n = \frac {\Omega \ddot {\Omega}}{\dot {\Omega} ^ {2}} - 2 \frac {\Omega}{\dot {\Omega}} c t g \alpha \cdot \dot {\alpha} \tag {5.13}

这个公式表明，如果磁倾角不是常数，则目前使用的计算制动指数的公式就不对了。磁倾角随年龄而变化已被公认，大多数天文学家认为，磁倾角随着年龄的增加而减小，但也有认为是随着年龄的增加而增加的。不过这几颗脉冲星的年龄都很小，要使制动指数n仍然等于3，就要求脉冲星在年轻时，磁倾角也变化当然，如果磁矩在脉冲星年轻时变化也可能解释。但是目前流行的看法是，年轻脉冲星的磁倾角和磁矩都是不变的。

目前比较可靠的测量有四颗脉冲星： PSR0531+21 $\mathsf { n } { = } 2 . 5 0 9 { \pm } 0 . 0 0 1$ ；PSR1509-58 $\mathsf { n } { = } 2 . 8 3 { \pm } 0 . 0 3$ ；PSR0540-69 $\mathsf { n } { = } 2 . 0 2 { \pm } 0 . 0 2$ 及 $\mathsf { n } { = } 2 . 7 4 { \pm } 0 . 1 0$ 和PSR0833-45 $\mathsf { n } { = } 1 . 4 { \pm } 0 . 2$ 。这四颗星的n值均比3小，但偏离并不大。

四，脉冲星年龄的估计

年龄这个参数的重要性是不言而喻的。我们只知道极少数脉冲星的准确年龄，如蟹状星云脉冲星是1054年超新星爆发的产物。绝大多数脉冲星的年龄就要想其它方法估计。

1，特征年龄

脉冲星的自转变化遵从如下的规律

\dot {\Omega} = - K \Omega^ {n}

\dot {p} = (2 \pi) ^ {n - 1} K p ^ {2 - n} \tag {5.14}

\int_ {p _ {o}} ^ {p} p ^ {n - 2} d p = \int_ {t _ {o}} ^ {t} (2 \pi) ^ {n - 1} K d t

假定脉冲星诞生时自转得特别快，其周期非常小，几乎为零，那么积分后便得到

T = t - t _ {o} = P / (n - 1) ^ {*} P \tag {5.15}

这个公式的物理意义是假定脉冲星都以目前测出的周期变率来增加其周期，从它诞生时的周期 $P _ { o } \approx 0$ 的初值变到现在的周期所需要的时间。磁偶极模型的制动指数的值为3，故定义特征年龄为

T = \frac {P}{2 \dot {P}} \tag {5.16}

由于制动指数的问题没有解决，K也不是常数，所以脉冲星的年龄估计仍是一个问题。但令人鼓舞的是，几颗年青的脉冲星的特征年龄和它们相联系的超新星遗的年龄很接近。如蟹状星云脉冲星的特征年龄为1258年，其真实的年龄是943年，船帆座脉冲星的特征年龄时11000年，而这个超新星遗迹的年龄为10000－30000年。计算表明，有不少脉冲星的特征年龄达到 $1 0 ^ { 8 } - 1 0 ^ { 9 }$ 年，甚至达 $1 0 ^ { 1 0 }$ 年。这使人怀疑这个公式的正确性。

2，脉冲星运动速度和运动学年龄

脉冲星比较集中在在银道面附近，但比超新星遗迹的分布要广得多（见第一章图(1.5a和b)），它们离银道面的高度的标高为600pc。这是由于脉冲星有很高的自行速度，主要在100公里/秒至200公里/秒之间。也有高达500，甚至1000公里/秒的。利用干涉仪可以直接测量脉冲星的自行。脉冲星闪烁的观测可以得到其运动速率，但是这依赖于视线方向的电子密度的确定。第四章图(4.7)给出银道坐标系中的52颗脉冲星及其自行。大多数脉冲星的运动方向是离银道面而去。大约有一半脉冲星具有足够高的速度，是它们逃离银河系的引力场以及跑到星系际空间。留下的这处在银河系的半径为几十kpc的晕中。但速度为500公里/秒时，脉冲星在2百万年期间将移动1kpc。这是脉冲星典型的年龄。图(4.7)的情况就是如此。

图(5.1)脉冲星运动学年龄和特征年龄的关系图。

由于超新星遗迹和脉冲星的

前生星分布在很靠近银道面的地方，所以人们认为脉冲星是诞生在银道面附近。由于脉冲星

的自行速度很大，所以老年脉冲星就远离银道面了。由此导出一种估计年龄的方法，即运动学年龄，其定义是：脉冲星诞生在银道面上，以其自行速度运动到现在的位置所需要的时间就是运动学年龄。年青的脉冲星的运动学年龄和特征年龄符合得比较好，而老年脉冲星的运动学年龄则比特征年龄要小很多。年龄越大，这个矛盾越大。这个问题引起广泛地讨论。一个可能的原因是由于磁偶极场随时间的衰减。在推导特征年龄公式时，是假定磁场是不衰减的，这导致特征年龄估计过高。图(5.1)的实线是没有磁衰减的情况，两条虚线分别代表磁衰减时间常数为2百万年和一千万年的情况。考虑磁衰减后，两种年龄直接的矛盾就小很多了。

3，磁衰减模型和“磁衰减”年龄

在推导特征年龄公式时，参数K被认为是一个常数。由磁偶极辐射模型推出的和P的Ρ&关系是二个紧密相关的量，当K为常数， $\scriptstyle { \mathsf { n } } = 3$ 时应该有 $\stackrel { \triangledown } { \boldsymbol { P } ^ { \prime } } _ { \propto } \boldsymbol { P } ^ { - 1 }$ 的关系。但是各种样本下的统计结果都表明P和P是不相关的。在图（5 .2 )的 $\tilde { P , P }$ 关系图中可以看出，点子很弥散。这个矛盾可能是由参数K不是常数的原因造成的。 $K \propto \mu ^ { 2 } / I$ ，假设转动惯量不变，而磁矩随时间按指数衰减

\begin{array}{l} \mu = \mu_ {o} \exp \left(- t / \tau_ {D}\right) \\ K = K _ {o} \exp (- 2 t / \tau_ {D}) \tag {5.17} \\ \end{array}

$\tau _ { p }$ 为磁衰减常数，把K的表达式代入 $\check { P , } P$ 关系式并取 $\scriptstyle \mathrm { n } = 3$ ，可得

\dot {\mathbf {P}} = k _ {o} \exp (- 2 t / t _ {p}) p ^ {- 1} \tag {5.18}

图(5.2) 脉冲星在P&−P图上的演化方式。

(a) $\tau _ { D }$ 取无穷；
(b) $\tau _ { D }$ 取1千万年；
(c) $\tau _ { p }$ 取1百万年。

假设脉冲星的 $K _ { o }$ 并不等

于常数而是有一个分布，或者磁衰减常数 $\tau _ { D }$ 有一个取值范围，那么我们就可以在 $\dot { P }$ −P图上可以给出一簇演化曲线，从而解释了 ${ \dot { P } } { - } P$ 图上点子的弥散。图(5.2)是假定 $K _ { o }$ 不变， $\tau _ { D }$ 取不同的值演化曲线，较好地解释了图中点的弥散。

由磁衰减模型可以导出新的年龄公式。只是在推导年龄公式时，把参数K是按指数衰减的因素考虑进去，则有：

\mathbf {P} ^ {2} = k _ {o} \tau_ {p} \left\{1 - \exp \left(- 2 t / \tau_ {D}\right) \right\} \tag {5.19}

磁衰减模型的年龄公式可由上面的两个公式推出

t = \frac {1}{2} \tau_ {p} \ln \left(\frac {2 T}{\tau_ {p}} + 1\right) \tag {5.20}

式中T为形式年龄，当 $T < < \tau _ { p }$ 时，真正年龄和形式年龄很相近，但当 $T > > \tau _ { p }$ ,也即年龄很大时，磁衰减模型的年龄要比特征年龄低很多。由磁衰减模型导出新的年龄又称为真正年龄公式。但是在这里，磁衰减时间常数的选择起了重要作用。“真正”年龄只能比磁衰减时间常数大一些。由统计研究估计出的磁衰减时间常数为 $1 0 ^ { 6 } - 1 0 ^ { 7 }$ 年，这样所有脉冲星的年龄都只能比 $1 0 ^ { 7 }$ 年大一些。然而理论研究表明中子星的磁场衰减的时间要大大地超过 $1 0 ^ { 8 }$ 年。所以“真正”年龄也不一定可靠。脉冲星的年龄问题依然是一个待深入研究的问题。

当脉冲星的年龄趋近无穷时，脉冲星的周期是否也会变得非常之长？从磁衰减模型可以推出 $\mathbf { t } \to \infty$ 时的周期取值为

P _ {\infty} = \left(k _ {o} \tau_ {D}\right) ^ {\frac {1}{2}} \tag {5.21}

故脉冲星的周期有一个上限值，由 $K _ { o }$ 和 $\tau _ { D }$ 决定。这两个参数可用统计观测资料的方法给出，结果和目前已观测脉冲星8.5秒的最长周期很符合。

第 5 章转动能损率和磁偶极模型

一，脉冲星的周期变化和转动能损率

1，转动能损率的导出

2，蟹状星云能源之谜

二，磁偶极辐射模型和磁场的估计

三，制动指数

四，脉冲星年龄的估计

1，特征年龄

2，脉冲星运动速度和运动学年龄

3，磁衰减模型和“磁衰减”年龄

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第 5 章 转动能损率和磁偶极模型

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