第 7 章 脉冲星的辐射机理

一，脉冲星的磁层和光速圆柱

现在比较公认脉冲星大气是由电荷分离的等离子体组成的。电荷分离的意思是正电荷和负电荷彼此分布在不同的地方。这个大气层称为磁层。磁层结构的研究直接涉及有关辐射区部位，粒子加速，辐射和传播等一系列重要问题。观测到的脉冲星辐射：射电、光学、X射线和γ射线都产生在脉冲星磁层中。

1，脉冲星的大气层

在观测发现脉冲星以前，人们曾认为中子星周围没有大气层存在。由于中子星表面极强的引力作用，中性大气将被压缩到表面附近的一薄层中，这个结论可以通过简单的计算得到。中子星表面附近的大气层的高度可由分子的引力势能和分子热运动动能相平衡时的条件决定。引力势能和热运动能分别为

$$E = \frac {h G m M}{R ^ {2}} \tag {7.1}$$ $$E _ {k} = \frac {3}{2} k T \tag {7.2}$$

当取温度 ${ \sf T } = 1 0 ^ { 6 } \sf K$ ，中子星半径 $\mathsf { R } = 1 0 ^ { 6 }$ 厘米，质量M为一个太阳质量时, 则可从 $\Xi = E _ { k }$ 的条件求出大气的高度。对于中性氢大气，只有1厘米的高度，对于电子也只有10米。中子星具有1百万度的高温，分子热运动动能也远比不上引力能。这种看法认为中子星周围是处于真空状态。

这种看法是不对的。因为当考虑电磁力后，情况就完全改变了。磁流体力学的理论告诉我们，旋转等离子体切割磁力线的电磁感应过程在脉冲星周围的空间产生极强的电场，将把带电粒子从星体表面拉出来，在脉冲星周围形成一个和中子星一起共转的磁层。电磁力远远超过引力。

2，GJ 磁层模型

自从人们认识到脉冲星是一颗自转的磁中子星后，必然要考虑电磁力的作用。比较一下

引力( $[ F _ { g }$ ) 和电磁力 $[ F _ { e } ]$ )就可以发现电磁力比引力要大得多。

$$F _ {e} = e E = e \frac {\Omega R B}{c} \tag {7.3}$$ $$F _ {g} = m g = \frac {m G M}{R ^ {2}}$$

在 脉 冲 星 PSR $0 5 3 1 + 2 1$ 的条件下 ( $\Omega = 2 0 0 , { \bf B } = 1 0 ^ { 1 2 } \ { \bf G } , { \bf R } = 1 0 ^ { 5 } \ \mathrm { c m } )$ ，对氢原子来说$F _ { e } / F _ { g } = 1 0 ^ { 9 } \mathrm { ~ s ~ }$ 。

Goldreich和Julian提出，当磁化中子星高速旋转时，其周围必然存在很强的电磁力，并大大超过引力。故可忽略引力的作用。对于一个良导的、稳定的大气，粒子应处于平衡状态，所受合力为零，即

$$\bar {E} + \frac {1}{c} \bar {V} \times \bar {B} = 0 \tag {7.4}$$

由于磁层中的电磁力比惯性力大 $1 0 ^ { 7 } - 1 0 ^ { 9 }$ 倍，所以可将粒子看成为质量为零但具有有限电荷的粒子。由上式可得

$$\bar {E} \cdot \bar {B} = 0 \tag {7.5}$$

沿磁力线的电场电量 $E _ { / / } = 0$ ,磁力线保持电位相等，带电粒子不会得到加速。由Maxwell方

程 $\rho _ { e } = \frac { \nabla \cdot \overline { { E } } } { 4 \pi }$ (7.6)

代入后有

$$\rho_ {e} = - \frac {\overline {{\Omega}} \cdot \bar {B}}{2 \pi c} f \tag {7.7}$$ $$f = \left[ 1 - \frac {1}{c ^ {2}} \Omega^ {2} r ^ {2} \sin^ {2} \theta \right] ^ {- 1} \tag {7.8}$$

式中θ为矢径与自转轴的交角。当r sin $\theta \approx \mathbf { c } / \Omega$ 时，f 因子变得很重要。通常

r sin $\Theta < < \mathsf { C } / \Omega$ ，f接近于1。等效的带电粒子数密度为

$$n = n _ {+} - n _ {-} = \frac {\rho_ {e}}{e} = \frac {\bar {\Omega} \cdot \bar {B}}{2 \pi c} f \cong 7 \times 1 0 ^ {- 2} \frac {B _ {z}}{P} \tag {7.9}$$

$B _ { z }$ 为B在轴向分量，当 $\overline { { \Omega } } / / \overline { { B } }$ 及 $\mathbf { f } = 1$ 时

$$n = 7 \times 1 0 ^ {1 0} c m ^ {- 3} (P = 1 s, B = 1 0 ^ {1 2} G) \tag {7.10}$$ $$n = 2 \times 1 0 ^ {1 2} c m ^ {- 3} (P = 0. 0 3 3 s, B = 1 0 ^ {1 2} G) \tag {7.11}$$

这是粒子数密度的下限。考虑一个均匀的磁化球的磁位为

$$U = \frac {\bar {\mu} \cdot \bar {r}}{r ^ {3}} \tag {7.12}$$ $$\bar {B} = - \nabla \left(\frac {\bar {\mu} \cdot \bar {r}}{r ^ {3}}\right) \tag {7.13}$$

μ为磁矩，将上式代入(7.7)得

$$\rho_ {e} = \frac {\overline {{\Omega}} \cdot \bar {\mu}}{2 \pi c} \frac {1}{r ^ {3}} (3 \cos^ {2} \theta - 1) \tag {7.14}$$

引入

$$\bar {\mu} = \pm B _ {o} R ^ {3} \frac {\bar {\Omega}}{\Omega} \tag {7.15}$$ $$\overline {{\Omega}} \cdot \bar {\mu} = \pm B _ {o} R ^ {3} \Omega$$

式中的 $^ +$ 号相应于 $\overline { { \Omega } } / / \overline { { \mu } }$ 的情形，- 号为反平行情形。

图(7.1) 是GJ磁层模型。 $r _ { c }$ 为光速园柱半径，＋和－代表正负电荷， se c $\theta = \sqrt { 3 }$ 为零电荷面。由于磁层中的各处的磁场及方向不同，各处感应电场的方向和大小也都不一样。磁层里的电荷是分离的，正负电荷处在不同的区域。在磁轴和自转轴反平行的情况下，磁轴附近是正电荷区。磁赤道区是负电荷。

图(7.1)
GJ磁层模型

磁层究竟有多大范围？这要由脉冲星的光速圆柱来决定。磁层和中子星共转，其角速度处处相同，但线速度随离中子星表面而不断增加，直至达到光速，形成一个光速圆柱。很显然，在光速园柱外，共转必将遭到破坏。所以我们只能研究光速圆柱边界以内的物理过程。事实上，所有自转的星体都有光速圆柱，但是由于自转很慢，光速圆柱特别大，没有实际的意义。脉冲星可不同，它们的光速圆柱半径都很小。光速园柱半径由脉冲星自转角速度或周期决定，

$$r _ {c} = \frac {c}{\Omega} = \frac {p c}{2 \pi} \tag {7.16}$$

脉冲星PSR0531+21的光速圆柱半径约为1500千米。而毫秒脉冲星PSR1937＋21的周期为1.56毫秒，光速圆柱半径大约是80千米。可见脉冲星的磁层只局限在中子星周围不大的空间中。

$$R _ {c} = \frac {C}{\Omega} \cong 5 \times 1 0 ^ {9} P (c m) \tag {7.17}$$

从上面的一系列公式可以得到如下结果：

(1) 当磁轴和自转轴平行（ $\overline { { \Omega } } / / \overline { { \mu } } )$ )时极区为负电荷，当磁轴和自转轴反平行时，极区为正电荷，而 $| \cos \theta | = 1 / { \sqrt { 3 } }$ 时，电荷密度为零，称为零电荷园锥面。
(2) $\boldsymbol { n } \propto \boldsymbol { B _ { z } } / \mathrm { ~ ~ \nabla ~ } P$ $P$ ，即磁场在自转轴方向的分量越大，电荷数密度越大。周期P越大则电荷数密度越小。
(3) 存在一个由开放磁力线规定的局部区域。被认为是脉冲星辐射产生的地方。GJ模型给出反平行的模式正好造成带电粒子的加速区(见图7.2)。

图(7.2)

磁极冠区的

内“间隙”

加速区和雪

崩过程。

二，高能电子的来源

1，中子星表面的电势—单极感应

将GJ磁层模型的出发点公式应用于一个良导的中子星球体上，稳定的大气粒子应处于平衡状态，所受合力为零

$$\bar {E} + \frac {1}{c} \bar {V} \times \bar {B} = 0 \tag {7.4}$$

感应电场的量级为

$$E \cong \frac {\Omega t \mathcal {B}}{c} \tag {7.18}$$

以蟹状星云脉冲星为例，在中子星表面， $B = 1 0 ^ { 1 2 }$ 高斯 $\mathsf { r } { = } 1 0$ 公里， $\scriptstyle \Omega = 2 0 0$ ，可得 $E = 1 0 ^ { 1 0 }$ 伏厘米。如果是偶极场，对于均匀磁化球，球面上两点间的电势差ε为

$$\varepsilon = \frac {B _ {o} \Omega R ^ {2} \sin^ {2} \theta}{2 c} \tag {7.19}$$

θ为球面两点对中子星的张角。这种电势很大，对PSR 0531+21来说，极区和赤道之间的 总电压为 $\varepsilon = 1 0 ^ { 1 8 }$ 伏

2，粒子加速区—“内间隙”(inner gap)的形成

GJ磁层中，沿磁力线的电场分量处处为零。因此被束缚在磁力线上的带电粒子得不到加速。必须找到合理的加速机制才可能产生辐射。

由中子星结构的研究得出：强磁场中，中子星表面物质的正离子被束缚着，不可能跑到磁层中去。磁层中的电荷是分离的，在磁极轴和自转轴是反平行的情况下，在磁极区的上空是正电荷。当有某一扰动导致正电荷向外流动时，中子星表面不能提供沿磁力线流动所需要的正电荷，因此在中子星表面附近形成一个电荷抽空的区域，也就是形成了一个“间隙”。当“间隙”形成时，电荷电流中断，相当于回路中该处的电阻增到无穷大，因而感应电势全部加在“间隙”两边。在“间隙”中的带电粒子可以获得加速，所以“间隙”成为一个理想的加速器，成为高能电子的源泉。

极冠区尺度由开放磁力线的区域所决定，在中子星表明的张角为

$$\sin \theta_ {p} = \left(\frac {2 \pi R}{p c}\right) ^ {1 / 2} \tag {7.20}$$

极冠区内最大的电势差 $\Delta { \phi } _ { p }$

$$\Delta \phi_ {p} = \frac {B _ {o} \Omega R ^ {2} \sin^ {2} \theta_ {p}}{2 c} = \frac {1}{2} \left(\frac {\Omega}{R}\right) ^ {2} R B _ {o} \tag {7.21}$$

这个电势差加在“间隙”两端。因此“间隙”是一个理想的加速区。这是由中子星沿开放磁力线流动的电流所能提供的最大的势能。由此可估计在极冠区流出的电流所带走的最大总功率。假定 $J _ { / / } \approx \rho c$ ，其中ρ由GJ磁层模型给出，在两块面积为 $\pi R _ { p } ^ { 2 }$ 的极冠区流出的最大功率为

$$\dot {E} = 2 J _ {\parallel} \Delta \phi_ {p} \pi R _ {p} ^ {2} = \frac {1}{2} \frac {B _ {o} ^ {2} \Omega^ {4} R ^ {6}}{c ^ {3}} \tag {7.22}$$

这和磁偶极辐射功率的表达式是一致的。

3，“间隙”的不稳定性。

在“间隙”中是真空的，哪里来的带电粒子？

在银河系处处都有高能γ射线光子,称之为银河系背景的γ射线光子。能量大于静止电子能量两倍的γ射线光子通过原子核的媒介作用可以直接转化为一个电子和一个负电子。“间隙”中有这样的高能γ射线光子，因此可以产生许多的正负电子对。正负电子在间隙中的电势作用下加速。正电子向外运动，负电子则轰击中子星表面。电子可以被加速到非常高的速度，甚至接近光速。常用罗伦兹因子γ来表示

$$\gamma = \sqrt {\frac {1}{1 - \frac {V ^ {2}}{c ^ {2}}}} \tag {7.23}$$

电子的速度比光速小很多时，γ因子就等于1。在“间隙”中的电子可以被加速到γ等于 $1 0 ^ { 6 }$ ,甚至更高。

电子在间隙中的电势作用下加速可以达到

$$\gamma = \frac {e \Delta \phi}{m c ^ {2}} \tag {7.24}$$

当间隙的高度为50米时， $\gamma$ 因子可达 $2 \times 1 0 ^ { 6 }$ 。这种能量的电子，沿弯曲轨道运行时所发出

的曲率辐射的光子的能量比 $2 m c ^ { 2 }$ 大很多。因此，在强磁场中又可以产生正负电子对，加速后又可以发出能产生正负电子对曲率辐射光子……于是将形成级联的雪崩放电过程。随后，“间隙”消失。但很快又建立起来。消失和建立的过程不断进行下去。

雪崩放电过程产生大量的能量非常高的初级正电子，这种高能的正电子还可以变为更多的能量低一些的电子，称之为次级电子。它们沿弯曲的开放磁力线运行时所发出的曲率辐射，就是我们观测到的射电脉冲。

磁极冠区的内“间隙”加速区和雪崩过程的原理见图(7.2)。

三，辐射过程

等离子体中的单个粒子的辐射在天体物理的研究中占有重要地位。脉冲星物理也离不开这些辐射过程，特别是同步辐射，曲率辐射和逆康普顿散射。

经典电动力学指出，任何带电粒子做加速运动时都会发出辐射。一个有加速运动的带电粒子辐射的总功率为

$$P = \frac {d W}{d t} = \frac {2 e ^ {2}}{3 c} \gamma^ {6} \left[ \dot {\beta} ^ {2} - \left(\bar {\beta} \times \bar {\beta}\right) ^ {2} \right] \tag {7.25}$$

其中 ${ \beta } { = } \mathsf { V } / \mathsf { C }$ ， $\gamma = 1 / \sqrt { 1 - \beta ^ { 2 } } = m c ^ { 2 } / m _ { o } c ^ { 2 }$ 为粒子能量与静止能量之比。

在脉冲星非常强的磁场条件下，带电粒子只能沿磁力线运动。由于开放磁力线是弯曲的，带电粒子可经获得向心加速度，因而产生辐射。在脉冲星的磁极冠区，在离中子星表面不太远的地方，磁场比较强，可由曲率辐射产生射电波段的辐射。主要的辐射过程如下：

1，回旋加速辐射

当有磁场存在，电子速度和磁场不平行，电子在罗仑兹力的作用下，产生加速度，从而了出辐射。回旋加速辐射是指电子能量较小时产生的辐射。

在罗仑兹力作用下，电子运动方程

$$\begin{array}{l} \overline {{F}} = e (\overline {{\beta}} \times \overline {{B}}) \\ \underset {\triangledown} {C} \overrightarrow {v} = e (\overline {{\beta}} \times \overline {{B}}) \end{array} \tag {7.26}$$

$\mathtt { B } \mathrm { = } \mathtt { V } / \mathtt { C }$ ，取Z为B的方向，即 ${ \overline { { B } } } = B { \overline { { K } } }$ ，粒子动能

$$W = \frac {1}{2} m \left(V _ {\perp} ^ {2} + V _ {\parallel} ^ {2}\right) \tag {7.27}$$

其解为

$$X = \frac {V _ {\perp}}{\omega_ {L}} \sin (\omega_ {L} t + \alpha) + X _ {o}$$ $$Y = - \frac {V _ {\perp}}{\omega_ {L}} \cos \left(\omega_ {L} + \alpha\right) + Y _ {o} \tag {7.28}$$ $$z = V _ {\parallel} t + z _ {o}$$

$\omega _ { \angle }$ 为回旋频率，α称拉莫尔频率，由磁场决定

$$\omega_ {L} = \frac {e B}{m c} \tag {7.29}$$

回旋半径

$$r _ {L} = V _ {\perp} / \omega_ {L} \tag {7.30}$$

引导中心

$$r _ {g} = \left(X _ {o}, Y _ {o}, V _ {\parallel} t + z\right) \tag {7.31}$$

电子围绕磁力线作螺旋运动。在引导中心看电子，电子是在作园周运动。图(7.3) 是电子回旋和同步辐射的电子运动轨迹。

图(7.3)

电子回旋

和同步辐

射的电子

运动轨迹。

回旋辐射单粒子的辐射总功率可根据经典电动力学给出的公式(7.25)导出。

$$p = \frac {2 e ^ {2} \dot {V} ^ {2}}{2 c ^ {3}} \tag {7.32}$$

回旋辐射条件下 $\beta \approx 0 , \gamma \approx 1$ ,故粒子获得加速度，是因为受到罗仑兹力

$$\mathbb {m} \stackrel {\smile} {\overline {{\nu}}} = e (\overline {{\beta}} \times \overline {{B}})$$ $$\mathbb {m} _ {o} ^ {\mathrm {C}} V = \frac {e}{c} V B \sin \alpha \tag {7.33}$$

回旋辐射的功率

$$P _ {c} = \frac {2}{3 c} r _ {o} ^ {2} V ^ {2} B ^ {2} \sin^ {2} \alpha \tag {7.34}$$

其中 $\boldsymbol { r _ { o } } = \boldsymbol { e ^ { 2 } } / m _ { o } \boldsymbol { c ^ { 2 } }$ 为电子的经典半径，( ${ \cal T } _ { o } = 2 . 8 2 \times 1 0 ^ { - 1 3 }$ 厘米)，假定电子速度方向是各向同性的，则平均功率

$$\bar {P} _ {c} = \frac {\int_ {o} ^ {\pi} P _ {(\alpha)} 2 \pi \sin \alpha d \alpha}{4 \pi} = \frac {4}{9} r _ {o} ^ {2} c \beta^ {2} B ^ {2} \tag {7.35}$$

非相对论电子的回旋辐射功率与其动能成正比，与磁场强度的平方成正比。上面只讨论非相对论性电子。因为 $\begin{array} { r } { r _ { o } \propto 1 / m _ { o } ^ { 2 } } \end{array}$ ，所以只有电子才有很强的辐射。

回旋辐射的谱是分立谱，当电子是沿圆形轨道运动时，即 $\alpha = \pi / 2 , V _ { / / } = 0$ 的回旋辐射，其谱是分立的谐波形式

$$P _ {n} = \frac {2 e ^ {2} \omega_ {L} ^ {2}}{c} \frac {(n + 1) n ^ {2 n + 1}}{(2 n + 1) !} \beta^ {2 n} \tag {7.36}$$

频率依次为 $\nu _ { { } _ { L } , 2 \nu _ { L } }$ L 3 , ν LL，其强度依次迅速减少。因为是非相对论性电子， $\beta < < 1$ ,故有

$$\frac {P _ {n + 1}}{P _ {n}} = \beta^ {2} \ll 1 \tag {7.37}$$

故能量几乎全部集中在基频辐射之中。若 $\beta = 0 . 1$ ，则有 $90 \%$ 以上的能量在基频辐射之中，当电子速度更低时，实际上只有基频辐射而成为单色的辐射。

实际上电子是做螺旋轨道运动。如果我们在一个运动参考系中观测辐射，也即站在引导中心看电子，电子是在作圆周运动。所以谱公式(7.36)仍然成立。该运动参考系相对于实验室系的速度是 $\beta _ { \ / \ / }$ ，通过罗仑兹变换，把运动参考系的谱公式变换到实验室系，也就是回到电子作螺旋运动的情况时的谱分布。螺旋轨道运动的电子辐射谱特征和圆轨道电子辐射谱的特征的主要不同点是谱线有移动。螺旋轨道的辐射频率为

$$\omega_ {n} = \frac {n \omega_ {L o}}{1 - \beta_ {\parallel} \cos \theta} \tag {7.38}$$

其中θ为辐射方向和磁场的夹角。

在中子星的情况，辐射频率可达X射线波段，故可能是X射线辐射的重要机制之一。

回旋辐射沿磁场方向最强，而垂直于磁场方向最弱，但两者强度仅相差一倍，故基本上

可看为各向同性。

2，同步辐射

在天体物理中，同步辐射比回旋辐射重要得多。但是同步辐射的物理图象和回旋辐射是一样的，即带电粒子在磁场中受罗仑兹力的作用作园周或螺旋轨道运动，产生加速度，从而发出辐射。唯一不同的条件是带电粒子的能量大，电子速度接近光速。电子运动方程和回旋辐射一样，但是回旋频率多了一个γ因子

$$\left(\omega_ {o}\right) _ {s y} = \frac {e B}{\gamma m _ {o} c} = \frac {\omega_ {L}}{\gamma} \tag {7.39}$$

由于 $\gamma > > 1$ ，故同步辐射比回旋辐射的频率要低很多。由于这一差别，这两种辐射的特性有很大的差异。

单电子同步辐射的总功率

$$\bar {P} = \frac {4}{9} \gamma^ {2} r _ {o} ^ {2} c \beta^ {2} B ^ {2} \tag {7.40}$$

和回旋辐射的平均总功率公式相比，只多了一个因子 。所以同步辐射的辐射功率远远大于回旋辐射的辐射功率。

$$\bar {P} _ {s y} > > \bar {P} _ {C} \tag {7.41}$$

由(7.39)式可知，同步辐射的基频很低，比回旋辐射的基频低得多。因此两根谱线之间的间距很小 $\Delta \omega = \omega _ { o }$ ，故谱线彼此靠得很近，变为连续谱了。单个电子和电子集体的同步辐射的谱分布都是幂律形式。电子作圆周运动时同步辐射的谱公式

$$\frac {d P (\omega)}{d \omega} = \frac {\sqrt {3} e ^ {2} \omega_ {L}}{2 \pi c} \frac {\omega}{\omega_ {c}} \int_ {\omega / \omega_ {c}} ^ {\infty} K _ {5 / 3} (x) d X \tag {7.42}$$

$K _ { \nu } \left( \boldsymbol { x } \right)$ 是 $\nu$ 阶贝塞尔函数， $\omega _ { c }$ 为临界频率

$$\omega_ {c} = \frac {3}{2} \omega_ {o} \gamma^ {3} \sin \alpha = \frac {3}{2} \omega_ {L} \gamma^ {2} \sin \alpha \tag {7.43}$$

圆周轨道运动时，sin $\alpha = 1$ ，无量纲同步辐射谱

$$F \left(\frac {\omega}{\omega_ {c}}\right) = \frac {\omega}{\omega_ {c}} \int_ {\omega / \omega_ {c}} ^ {\infty} K _ {5 / 3} (x) d x \tag {7.44}$$

其中

$$F \left(\frac {\omega}{\omega_ {c}}\right) = \left(\frac {4}{3} \pi \Gamma_ {1 / 3}\right) \left(\frac {\omega}{2 \omega_ {c}}\right) ^ {1 / 3} \quad \left(\frac {\omega}{\omega_ {c}}\right) < < 1$$ $$F \left(\frac {\omega}{\omega_ {c}}\right) = \left(\frac {\pi}{2}\right) ^ {1 / 2} \left(\frac {\omega}{\omega_ {c}}\right) ^ {1 / 2} e ^ {- \omega / \omega_ {c}} \quad \left(\frac {\omega}{\omega_ {c}}\right) \gg 1$$

在低频端函数以 $\omega ^ { 1 / 3 }$ 形式随频率缓慢上升，在 $\omega = 0 . 3 \omega _ { c }$ 达到峰值。在高频段函数以指数形式很快地下降，辐射集中在峰值频率附近。图(7.4)是同步辐射无量纲辐射谱。

图(7.4)

同步辐射
无量纲辐
射谱。

和回旋辐射的情况相似，当电子作螺旋轨道运动时，公式的形式不变，但回旋频率 $\omega _ { \angle }$ 要改为 $\omega _ { L } \sqrt { 1 - \beta _ { \ / / } ^ { 2 } }$ 。

$$\beta_ {/ /} = \beta \cos \alpha \tag {7.45}$$

最后得到的螺旋轨道运动的电子的辐射谱公式只是比圆周轨道运动的公式多了一个sinα的因子。

同步辐射的方向性很强，辐射集中在沿带电粒子运动方向的狭小的角锥内，半张角。

3， 曲率辐射

曲率辐射具有和同步辐射十分相似的特点，它是相对论性带电粒子沿弯曲轨道运动时所产生的辐射。在脉冲星非常强的磁场条件下，带电粒子只能沿磁力线运动。由于磁力线是弯曲的，带电粒子可以获得向心加速度 $\boldsymbol { a } = \boldsymbol { v } ^ { 2 } / \rho , \rho$ 为磁力线的曲率半径，因而产生辐射。曲率辐射类似于回旋半径为 $\rho$ 的园轨道运动的带电粒子的同步辐射。因此有关同步辐射的基本公式都可以应用于曲率辐射。

曲率辐射谱的形式和同步辐射相同的，但临界频率和极大频率则明显不同，曲率辐射的临界频率

$$\left(\omega_ {c}\right) _ {c} = \frac {3 c}{2 \rho} \gamma^ {3} \tag {7.46}$$

而同步辐射的临界频率则为

$$\left(\omega_ {c}\right) _ {s y} = \frac {3}{2} \omega_ {L} \gamma^ {2} \tag {7.47}$$

同步辐射的回旋半径是由磁场强度和γ 因子决定的，磁场强时或 γ 因子小时，其回旋半径很小。曲率辐射的回旋半径为 $\rho$ 则是由磁力线的形状决定的，在脉冲星的情况下， $\rho$ 则可达 $1 0 ^ { 8 }$ 厘米，远大于同步辐射的回旋半径。因此，由相同能量的带电粒子产生的同步辐射的临界频率远比曲率辐射的高。在脉冲星的磁极冠区，在离中子星表面不太远的地方，磁场比较强，可由曲率辐射产生射电波段的辐射。在光速园柱附近，因其磁场较弱可由同步辐射给出光学波段的辐射。

曲率辐射的总功率公式

$$P _ {c} = \frac {2 e ^ {2} c}{3 \rho^ {2}} \left(\gamma^ {4} - \gamma^ {2}\right) \tag {7.48}$$

曲率辐射和同步辐射都是强偏振的。辐射的方向性都很强。

4，康普顿辐射(逆康普顿散射)

逆康普顿散射是高频光子产生的有效机制，被应用到脉冲星各个波段，射电、光学、X射线和γ射线辐射的理论解释。逆康普顿散射是讨论高能电子和低频光子的碰撞的过程。所谓低频光子是指能量比电子能量小很多的光子。碰撞结果是电子把它的部分动能转移给光子，使散射光子的能量增加变为高能光子，也就是辐射频率变高了，这相当于在高频有了辐射，称之为康普顿辐射。其特点是幂率谱、强方向性和强偏振。特别是辐射频段很宽，能解释某些脉冲星在很宽的频段上的辐射。

为了方便讨论逆康普顿散射，我们首先介绍一下，康普顿散射。康普顿散射是指高频光子和静止电子碰撞的情况。，高频光子是指能量比电子的静止能量大得多的光子。碰撞后，光子损失能量而电子获得能量。根据能量守恒和动量守恒可以推导出，散射频率(能量)和入射频率(能量)之间的关系

$$\nu_ {F} = \frac {\nu_ {i}}{1 + \frac {h \nu_ {i}}{m _ {o} c} (1 - \cos \theta)} \tag {7.49}$$

$\theta$ 为入射方向和散射方向的夹角。当 $\theta$ 很小时， $\nu _ { \scriptscriptstyle F } = \nu _ { \scriptscriptstyle i }$ 频率不变。这是因为散射角很小，相当于没有散射，频率也就不会变化。当 $\theta$ 很大时

$$\nu_ {F} = \frac {\mathcal {M} _ {o} \mathcal {C} ^ {2}}{h (1 - \cos \theta)} \cong \frac {\mathcal {M} _ {o} \mathcal {C} ^ {2}}{h} = \nu_ {c} \tag {7.50}$$

散射后的频率和入射频率无关，并等于一个常数，我们称 $\nu _ { c }$ 为康普顿频率。因为$h \nu _ { { } _ { c } } = m _ { o } c ^ { 2 }$ ，这表明在 $\theta$ 很大时，散射光子的能量和电子静止能量差不多。当 $\theta$ 值介于这两种情况之间时，则 $\nu _ { \mathrm { \Delta } _ { F } } < \nu _ { i }$ 。

逆康普顿散射的过程是讨论高能电子和低频光子的碰撞的过程。当把坐标系选在电子上，即电子静止坐标系。这时就相当于康普顿散射的情形，因此散射的公式的形式是相同的。但是我们观测者并不在电子静止坐标系上，而是在电子之外，称之为实验室坐标系中。根据相对论的原理，经过罗仑兹变换后，便得到实验室坐标系的情形，也计算逆康普顿散射的公式

$$\nu_ {f} ^ {L} = \frac {\gamma^ {2} \nu_ {i} ^ {L} \left(1 - \beta \cos \psi_ {i} ^ {L}\right) \left(1 + \beta \cos \psi^ {R}\right)}{1 + \frac {\gamma h \nu_ {i} ^ {L}}{m _ {o} c ^ {2}} \left(1 - \beta \cos \psi_ {i} ^ {L}\right) \left(1 - \cos \theta^ {R}\right)} \tag {7.51}$$

角标L和R分代表实验室坐标系和电子静止系。

逆康普顿散射又称康普顿辐射。这种辐射的方向性很强，散射光子总是大体沿着电子运动的方向射出。散射后的光子能量大大增加，当γ很大，可简化为

$h \nu _ { F } ^ { L } \cong \gamma ^ { 2 } h \nu _ { i } ^ { L }$ 。这表明，在与相对论电子碰撞后，光子能量增加到原来的 γ 2 倍。

康普顿辐射的频段很宽，从射电、光学、X射线到γ射线的辐射都可以产生。

当辐射场的能量密度为 $U _ { p h }$ ，电子的罗仑兹因子为γ时，康普顿辐射的辐射功率公式为

$$P = \frac {3}{4} \gamma^ {2} \sigma_ {T H} c U _ {P H} \tag {7.52}$$

$\sigma _ { \mathit { T h } }$ 为汤姆逊散射截面。散射截面是表征碰撞几率的参数，散射截面越大，则辐射功率也越大。辐射功率还随电子的能量及辐射场的流量密度的增加而增加。

在脉冲星的情况下，磁场非常强，所以要应用强磁场下的逆康普顿散射的理论。这将在以后的课程里介绍。

四，理论模型

脉冲星的观测给我们提供了足够的信息以构造理论模型：脉冲宽度远小于周期，表明中子星的辐射具有很强的方向性，辐射源被限制在一个局部区域；稳定的脉冲形状，表明产生辐射过程的区域的特性具有很高的稳定性；平均脉冲形状和对频率的依赖关系给出辐射锥的结构；偏振位置角的连续平滑的变化，表明辐射区由稳定的偶极场控制；强的线偏振和幂律谱表明射电辐射是非热辐射。任何一种理论模型都要解释上述观测现象。在脉冲星发现后不久提出的灯塔模型定性地解释了中子星辐射的脉冲特性。这一物理图象也被后来的理论模型所继承。建立在上述观测特性基础上的RS极冠模型是当今最受重视的一种模型。

1，RS磁极冠模型

RS模型是最受重视的理论模型之一，是最早提出的脉冲星辐射模型。这个模型的部分概念是由Sturrock提出的，后来由Ruderman和Sutherland进一步发展、完善，形成了一个体系完整的理论模型。人们称之为RS模型，有时也称SRS模型。

(1) 物理图象

这个模型的物理图象是：在中子星的磁极冠区，由开放磁力线构成一个稳定的辐射域；在磁轴和自转轴是反平行的情况下，在中子星表面附近形成一个带电粒子加速区－称为内间隙（inner gap), 宇宙背景的高能γ光子在“间隙”中产生正负电子对，由在“间隙”中被加速成高能正负电子对，它们又产生γ光子，级联过程产生大量的 $\gamma > 1 0 ^ { 6 }$ 的高能正负电子对。正电子流出“间隙”外，由曲率辐射产生γ光子，进而产生次级 $\gamma \approx 4 0 0$ 的正负电子对。出射的粒子流中有 $\gamma \approx 4 0 0$ 的次级正负电子对和少量初级的正电子。由“二流不稳定性”产生带电粒子的聚束作用，保证了相干条件，从而在适当部位产生相干的曲率辐射。从而给出我们所观测到的射电脉冲。

RS模型用曲率辐射来解释我们观测到的射电脉冲。电子集体的曲率辐射是幂律谱，恰好解释了射电脉冲的幂律谱性质；曲率辐射是很强的偏振波，在电子的运动方向观测到的是线偏振，正好能解释大多数脉冲星具有较强的线偏振以及线偏振位置角沿脉冲的轮廓线性变化的观测事实。曲率辐射的临界频率基本上可看作峰值频率，因此要求产生脉冲辐射的次级电子对的能量满足一定的γ值。假定初级粒子 $( \gamma _ { _ { P } } = 2 \times 1 0 ^ { 6 }$ )的正电子流的曲率辐射能量全部转变为次级粒子的能量，则相应的次级电子对的能量为

$$\gamma_ {\pm} m c ^ {2} = \frac {3}{2} \gamma_ {p} ^ {3} h c / \rho \tag {7.53}$$

式中左边是次级粒子的能量，右边是初级粒子曲率辐射光子的能量。可以求出 $\gamma _ { \pm }$ 400 。因在“缝隙”(gap)外，平行磁场方向的电场分量 $E _ { / / } = 0$ ，故次级正负电子对不能得到加速。次级粒子向外运行时，曲率越来越大。磁场越来越弱，不能再产生次级粒子。当曲率半径$\rho = 1 0 ^ { 8 } c m$ , $\gamma = 4 0 0$ 时曲率辐射的频率正好落在电波段。

假定初级正电子的能量全部转换给次级负电子对时，可以估计出一个初级粒子产生次粒子的数目。

$$\left\{ \begin{array}{l} \gamma_ {p} m c ^ {2} = \sum \gamma_ {\pm} 2 m c ^ {2} = N ^ {\prime} 2 \gamma_ {\pm} m c ^ {2} \\ N ^ {\circ} = \frac {\gamma_ {p}}{2 \gamma_ {\pm}} \Bigg | _ {\substack {\gamma_ {p} = 2 \times 10 ^ {6} \\ \gamma_ {\pm} = 400}} = 2.5 \times 10 ^ {3} \end{array} \right. \tag{7.54}$$

(2)相干辐射

辐射必须是相干的。所谓相干，根据定义，是指一个由N个粒子组成的辐射源其强度满足如下条件：

$$I _ {v} > N I _ {v. i} \tag {7.55}$$

其中 $I _ { \nu i }$ 是单个粒子的强度。相干辐射的总强度并不是所有单个粒子辐射强度的代数和，通常和粒子数的平方成正比，因此可以给出非常大的强度。有一种称为“天线机制”的相干机制要求粒子束的尺度小于一个波长，各束的分离超过一个波长时，其强度应是

$$I _ {v} \approx N ^ {2} I _ {v. i} \tag {7.56}$$

在磁层中开放磁力线区域的等离子体是由次级正负电子对 $( \gamma _ { s } \approx 4 0 0 )$ )和初级高能正电子组成。次级正负电子对和快速流动的正电子之间的库伦力作用导致非常强的等离子体波的形成，它将约束荷电粒子，从而构成相干条件。相干条件要求辐射的电磁频率 $( \omega _ { c } )$ 比等离子体频率 $( \omega _ { p } )$ 高，在次级粒子的静止系中，在等离子体频率上，不稳定性的增长率是最大的。

$$\omega_ {p} ^ {R} \approx \left(\frac {4 \pi n _ {s} ^ {R} e ^ {2}}{I I}\right) ^ {1 / 2} \tag {7.57}$$

其中 $\eta _ { _ s } ^ { R } = n _ { _ s } / \gamma _ { _ s }$ 是静止系中的次粒子数密度，在实验室坐标系中的等离子体频率

$$\omega \dot {F} _ {p} = 2 \gamma_ {s} \omega_ {p} ^ {R} \tag {7.58}$$

初级粒子的数密度可由GJ模型估计

$$n _ {e} = \frac {\Omega B _ {o}}{2 \pi c e} \tag {7.59}$$

对偶级场，在r处的磁场为

$$B = B _ {0} \left(\frac {R}{r}\right) ^ {3} \tag {7.60}$$

次级粒子的数密度

$$n _ {s} = N ^ {\prime} n _ {p} = n _ {p} \nu_ {p} \gamma_ {s} ^ {- 1} \tag {7.61}$$ $$n _ {s} = \nu_ {p} \gamma_ {s} ^ {- 1} \frac {\Omega B _ {0}}{2 \pi c e} \left(\frac {R}{r}\right) ^ {3} \tag {7.62}$$

所以在实验室坐标系中等离子体频率（次级粒子）

$$\omega_ {p} = \left(\frac {8 e \gamma_ {p} \Omega B _ {o}}{m c}\right) ^ {1 / 2} \left(\frac {R}{r}\right) ^ {3 / 2} \tag {7.63}$$

式中R为中子星半径，r为辐射区离中子星表面的距离。取 $r = 1 0 ^ { 2 } \ : R$ ， $\gamma _ { _ { p } } = 1 0 ^ { 6 }$ ,Ω=200s-1$B _ { 0 } = 1 0 ^ { 1 2 }$ 高斯，可得 $\omega _ { 0 } \mathrm { ^ { 1 } } \mathrm { \overline { { : } } } = 6 \times 1 0 ^ { 1 0 } \mathrm { \overline { { ~ } } }$ /秒，而次级粒子曲率辐射特征频率中 $\omega _ { c } \approx 1 0 ^ { 1 1 }$ /秒，满足 $\omega \dot { \mathrm { E } } < \omega _ { p }$ 的条件。因而在极冠区离中子星表面 $r = 1 0 0 R$ 处可由次级粒子发生相干的曲率辐射，频率正好在射电段。

(3)辐射区高度的估计

相干条件是 $\omega _ { c } > \omega _ { p }$ 。对偶极场，极冠区开放磁力线的曲率半径 $\rho$ 为

$$\rho = \frac {4 r ^ {2}}{3 r _ {p}} \tag {7.64}$$

式中分 $\boldsymbol { r } _ { p }$ 为到磁轴的垂直距离，故曲率辐射的临界频率(即辐射频率)为

$$\omega_ {c} = \frac {9 \gamma_ {s} ^ {3} r _ {p} c}{8 r ^ {2}} \tag {7.65}$$

$\gamma _ { s }$ 为次级粒子的罗伦兹因子。根据 $\omega _ { c } > \omega _ { p }$ 的条件由(7.65)和(7.63)式可得

$$r \geq \left(\frac {8 e \gamma_ {p} \Omega B _ {o}}{m c}\right) ^ {1 / 3} R \omega^ {- 2 / 3} \tag {7.66}$$

r和 $\omega ^ { - 2 / 3 }$ 成正比，可见高频辐射区离中子星表面较近，而低频则发生在比较远的地方。

(4)，辐射锥角和脉冲形状

从几何上考虑，辐射锥角的外边缘应由极冠区最外面一根开放磁力线决定，根据偶极场磁力线方程（见第八章）可以推导出

$$\left(r _ {p}\right) _ {\max } \leq r \left(\Omega r / c\right) ^ {1 / 2} \tag {7.67}$$

辐射区的内边缘应由 $\omega _ { c } > \omega _ { p }$ 条件给出，根据（7.65）和（7.63）式可导出

$$\left(r _ {p}\right) _ {\min } \geq \frac {1 6}{9 \gamma_ {s} ^ {3} c} \left(\frac {2 e \gamma_ {p} \Omega B _ {o} R ^ {3}}{m c}\right) ^ {1 / 2} r ^ {1 / 2} \tag {7.68}$$

偶极场时

$$\theta = 3 r _ {p} / 2 r \tag {7.69}$$

由（7.66)(7.67)和(7.68)联立得

$$\theta_ {\max } = \frac {3}{2} \left(\frac {2 \Omega}{c}\right) ^ {1 / 2} \left(\frac {e \gamma_ {p} \Omega B _ {o} R ^ {3}}{m c}\right) ^ {1 / 6} \omega^ {- 1 / 3} \tag {7.70}$$ $$\theta_ {\min } = \frac {8}{3 r _ {s} ^ {3} c} \left(\frac {e \gamma_ {p} \Omega B _ {o} R ^ {3}}{m c}\right) ^ {1 / 3} \omega^ {- 1 / 3} \tag {7.71}$$

由(7.69)式给出的辐射锥角是由最外围的开放磁力线在辐射区处的张角决定。我们曾由极冠模型几何关系及观测资料导出辐射锥角的极大值，大部分脉冲星的辐射锥角极大值均比上式的 $\theta _ { \mathrm { { m a x } } }$ 还小。图(7.5)给出RS模型辐射锥的结构图。

图(7.5)

RS模型

辐射锥的

结构图。

2，逆康普顿散射模型

我国乔国俊教授等发展了一种新的脉冲星辐射理论模型。

基本出发点：在RS模型所采用的高能电子加速区，内间隙（inner gap）中，由于火花

放电产生了低频电磁波；脉冲星具有偶极磁场，在磁极冠区形成由开放磁力线组成的辐射区；在内间隙中加速的高能电子沿开放磁力线向外运动和内间隙中低频电磁波（光子）相碰撞产生逆康普顿散射，给出观测到的射电脉冲。

脉冲星发现后，逆康普顿散射曾受到广泛重视，但当时的计算表面散射截面太小，不可能产生观测到的辐射。到1979年，Herold用相对论量子力学研究接近临界磁场情形下的康普顿散射。夏晓阳等，在这基础上进行了强磁场中逆康普顿散射的计算，首先证明在谐振频率附近，逆康普顿散射截面很大，可以产生很强的高能光子。中子星表面附近的热光子和高能电子的逆康普顿散射是产生高能光子的有效机制。当中子星表面温度T～107 K时，热光子与高能电子间的逆康普顿散射限制高能电子获得更高的能量，高能电子从内间隙中获得的能量与它的辐射相当，相对论因子只能达到 $\gamma \mathrm { { \sim } } 1 0 ^ { 2 }$ 左右。

这个模型不仅具有理论上的优点，不需要特别高的电子能量，（RS模型要求电子的相对论因子达到 $\gamma { \sim } 1 0 ^ { 7 }$ 左右，这里只需要 $\cdot \gamma { \sim } 1 0 ^ { 3 }$ 左右），而且能解释的观测现象很多，最重要的是能同时给出目前流行的“核－双锥”模型的核、内锥和外锥辐射。图（7.6）是该模型给出的辐射束形状和频率与θ角（视线和磁轴的夹角）的关系。这个图象和由分析脉冲星PSR1451－68的6个频率的平均脉冲所得的图象（图6.14)完全一致。

图(7.6)

逆康普顿散射

模型导出的辐

射束形状和频

率与θ角（视

线和磁轴的夹

角）的关系。

3，WWC模型

这是由我国学者王德育教授等提出的理论模型，旨在解决RS模型不能解释脉冲星辐射束中核心成分的困难。

在中子星磁层中存在一稀薄的等离子体包层，当内间隙中产生的高能粒子穿过此等离子体包层时，能激发某些等离子体不稳定性，例如Cerenkov和电子回旋Μaser不稳定性，导致频率大于或等于等离子体频率的波被直接放大。不稳定性在磁轴附近最强，随离磁轴距离的

增加而减少，因而形成磁极附近的中心辐射，比较好的解释辐射束中核心成分的辐射。辐射是相干的，可以解释观测到的极高的亮温度。这种由等离子体不稳定性激发的波有很强的圆偏振，和中心辐射束的观测一致。