第 8 章 脉冲星的极冠几何模型

一，由偶极场开放磁力线所决定的辐射区

平均脉冲宽度大多数是周期的3— $4 \%$ ，以及具有长期不变的轮廓和很强的线偏振表明局部辐射区可能是由相同的磁场位形所控制。这种磁场的特性不象太阳黑子那样的局部不规则场。而一定是一个基本不变的规则的场，如偶极磁场。

辐射区有多大？

一个明快的物理图象是：偶极场的闭合磁力线区域由于磁场极强能够束缚带电粒子，在开放磁力线区域带电粒子可以沿磁力线向外运动而发生曲率辐射。因而可以假定辐射区的大小完全由开放磁力线区域的大小决定。图(8.1)为脉冲星磁层的基本图象。在光速圆柱（rc）之内是与脉冲星共转的磁层。和光速圆柱相切的闭合磁力线构成两个开放磁力线区，磁极冠上的影线部分为辐射区。

图(8.1)

脉冲星磁层和辐射区的基本图象。

假设磁场是单纯的偶极场，磁轴和自转轴平行。极冠区可由和光速园柱相切的那根闭合磁力线决定，如图(7.1)所示。偶极场磁力线方程为

$$r = r _ {o} \sin^ {2} \theta \tag {8.1}$$

$\theta$ 是矢径r和自转轴的交角。与光速园柱相切的那根闭合磁力线，在光速园柱那点的

$$\theta = \pi / 2$$ $$r _ {c} = r _ {o} \sin^ {2} \theta = r _ {o} \tag {8.2}$$ $$r = r _ {c} \sin^ {2} \theta$$

在中子星表面 $\mathsf { r } { = } \mathsf { R }$ ，矢径r 和自转轴交角为 $\theta _ { p }$

$$R = r _ {c} \sin^ {2} \theta_ {p} \tag {8.3}$$ $$\left(r / R\right) = \left(\sin \theta / \sin \theta_ {p}\right) ^ {2}$$

考虑辐射区在中子星表面，可给出 $\theta _ { p }$ 的估计值

$$\theta_ {p} \approx \sin \theta_ {p} = (2 \pi R / P c) ^ {1 / 2} \tag {8.4}$$

矢径和切线的夹角 $\Theta$ 为

$$t g \Theta = \frac {r}{r ^ {\prime}} = \frac {r _ {c} \sin^ {2} \theta_ {p}}{2 r _ {c} \sin \theta_ {p} \cos \theta_ {p}} = \frac {t g \theta_ {p}}{2} \tag {8.5}$$ $$\Theta \approx \frac {\theta_ {p}}{2}$$

故辐射半锥角 $\rho$ 为

$$\rho = \theta_ {p} + \Theta = 3 / 2 \theta_ {p} = 3 (2 \pi R / c) ^ {1 / 2} P ^ {- 1 / 2} \tag {8.6}$$

辐射锥角仅是周期的函数。若周期 $\mathsf { P } { = } 1$ 秒,R为10公里则有 $2 \rho = 2 ^ { o } 5$ 。可见辐射区很小。真实的辐射锥角值决于辐射区处在什么位置上。(8.6)式给出极冠模型辐射锥角的下限，当辐射区不在中子星表面时，辐射锥角要增大，对周期的依赖关系也要改变。

二，极冠几何模型

由中子星偶极场的开放磁力线区域构成一个辐射窗口。这个几何位形是非常简洁而又准确的反映了脉冲星辐射的许多特征，从而构成了极冠几何模型。

图(8.2)给出极冠模型的几何关系。其中OQ为磁轴，OR为自转轴， $\alpha$ 为磁倾角， $\theta$ 为视线和自转轴交角， $\Delta \phi$ 为视束宽半宽， $\rho$ 为辐射锥角半宽， $\Psi$ 为线偏振位置角， $2 \Delta \Psi$ 是线偏振位置角的变化范围。

由球面三角形RQT可以导出

$$\cos \Delta \phi = \frac {\cos \rho + \cos \alpha \cos \theta}{\sin \theta \sin \alpha} \tag {8.7}$$ $$t g \Delta \Psi = \frac {\sin \Delta \phi \sin \alpha}{\cos \alpha \sin \theta - \cos \theta \sin \alpha \cos \Delta \phi}$$

由球面三角形RQP可以导出

$$t g \Psi = \frac {\sin \phi \sin \alpha}{\cos \alpha \sin \theta - \cos \theta \sin \alpha \cos \phi} \tag {8.8}$$

由上式可以导出

$$\Phi = \left(d \Psi / d \phi\right) _ {\max } = \frac {\sin \alpha}{\sin (\theta - \alpha)} \tag {8.9}$$

当视线从辐射锥中央扫过，即离磁轴最近时， $\phi = 0$ ，偏振位置角的梯度达到极大值。在上述关系式中， $\Delta \phi , \Delta \Psi , \phi , \Psi$ 是观测量， $\Phi$ 也是观测量。而磁倾角α，辐射锥角 $\rho$ ，视线与自转轴交角 $\theta$ 三个表征脉冲星辐射锥特性的重要物理量，则不能由观测直接给出。脉冲星极冠模型几何关系的研究集中到一点就是如何估这三个重要物理量。

三，辐射锥参数的估计

脉冲星的磁倾角 $\alpha$ 值的确定以及它的演化趋势对脉冲星的磁层结构和辐射机制的确立都有重要的意义。磁倾角的直接测量至今尚无办法，只能由极冠模型的几何研究和统计分析来获得。

1，磁倾角的估计方法之一

根据磁衰减模型，垂直磁矩 $\mu _ { \perp }$ 具有如下的形式

$$\mu_ {\perp} = \mu_ {o} \exp (- t / \tau_ {D}) \tag {8.10}$$

实际上，磁矩的衰减可理解为磁倾角随时间的演化。

$$\begin{array}{l} \mu_ {\perp} = \mu_ {o} \sin \alpha \\ \dot {P} P = \frac {8 \pi^ {2}}{3 c ^ {3}} \frac {\mu_ {o} ^ {2}}{I} \sin^ {2} \alpha \tag {8.11} \\ \end{array}$$

当 I (转动惯量)和 $\mu _ { o }$ (磁矩)不随时间变化，则 $\dot { P } P$ 值就反映了磁倾角。Lyne和

Smith(1979)用这种办法导出磁倾角值，得出小磁倾角值的脉冲星居多的结果。但是这种方法假设性太强，现在已经不采用了。

2，关于Q参数

视线扫过辐射锥部位，通常用 $\beta = | \theta - \alpha |$ 来表示，这个量也不能由观测直接给出。我们在估计射电光度，脉冲星平均脉冲的形态分类等问题时都需要知道这个物理参数。这个参数并不能确切告诉我们视线究竞从辐射锥哪个部位扫过的。我们定义一个新的参数

$$Q = \frac {\left| \theta - \alpha \right|}{\rho} \tag {8.12}$$

其中 $\rho$ 为辐射锥半宽，Q代表一个归一化的视线扫过辐射锥部位的参数。含意十分明确。如$\alpha = 1$ 表示视线从辐射锥边缘扫过， $\mathtt { Q } \mathtt { = } 0 . 5$ 则表示从1/2半径处扫过， $\scriptstyle { \mathsf { Q } } = 0$ 就表示视线从辐射锥中心扫过。这个参数后来在Lyne和Manchester (1988)的论文被采用，并作为一个重要的新参数列入其星表。Q参数的另一个优点是可以由观测量 $\Delta \phi$ 和 $\Phi$ 确定，这是因为磁倾角对Q参数来说是一个不敏感的参量。这个参量有着广泛的用处。

3，辐射锥角的估计

辐射锥角的估计是自脉冲星发现以来的一个争论不休的课题。RS理论模型得出了辐射锥角公式，和观测结果符合的并不好。我们曾根据极冠几何模型推出的辐射锥角极大值的表达式(1984)，指出由RS模型公式计算出的辐射锥角均偏大，有 $89 \%$ 的脉冲星的辐射锥角均大于我们计算出的极大值，这显然是不合理的。极大值是在磁倾角取 $9 0 ^ { \circ }$ 时的值，已有

统计结果均表明，只有少数脉冲星的磁倾角接近 $9 0 ^ { \circ }$ 。

在极冠模型中，辐射锥角由开放磁力线的张角决定，各个模型由于辐射区高度不同而得到不同的辐射锥角公式。 $\rho$ 和周期P之间具有不同的关系式。直到最近(1997) 人们还在研究这个关系。

4，辐射锥参数的计算

1988年Lyne和Manchester提出利用如下3个方程来计算辐射锥参数：

$$\cos \Delta \phi = \frac {\cos \rho + \cos \alpha \cos \theta}{\sin \theta \sin \alpha} \tag {8.13}$$ $$\Phi = \left(d \Psi / d \phi\right) _ {\max } = \frac {\sin \alpha}{\sin (\theta - \alpha)} \tag {8.14}$$ $$\rho = 6. 5 p ^ {- 1 / 2} \tag {8.15}$$

计算出100多颗脉冲星的磁倾角 $\alpha$ ，辐射锥角 $\rho$ ，视线扫过辐射锥参数 $\theta$ 和Q值。这一计算结果已被广泛应用。Kuzmin(1984)提出类似的方法，但采用 $\rho = 5 P ^ { - 0 . 5 }$ 的关系式。这两种结果差别并不太大。关于演化问题，我们根据极冠模型的几何关系和已有的理论的演化模型，得到的结论是磁倾角随年龄的增加而减少，时间常数为 $1 . 5 \times 1 0 ^ { 7 }$ 年，辐射锥角随年龄增加而减少，但比磁倾角要快得多，经过 $6 \times 1 0 ^ { 4 }$ 年后就基本完成了演化进程。

5，射电光度的计算

射电光度的计算和辐射锥的强度分布，形状，大小有关，还和磁倾角及视线扫过辐射线的部位有关。但目前广泛采用的射电光度公式是很粗略的。Taylor和Manchester(1975)按照极冠模型，并假定

$$\rho = \Delta \phi \tag {8.16}$$ $$\alpha = \theta = 9 0 ^ {o}$$

给出射电光度公式

$$L _ {R} = \pi^ {3} \frac {W _ {E}}{P} d ^ {2} S _ {4 0 0} \Delta f \tag {8.17}$$

式中 $W _ { E }$ 为等效脉冲宽度， d为距离， $S _ { 4 0 0 }$ 为平均流量密度， $\Delta { f }$ 为频宽，一般取为400MHz。这个公式的粗略性是其两个假设前提不成立。我们( 1986，1990 )提出一个新的射电光度公式。这个公式不需要老公式所需的假设。新公式为

$$L _ {n e w} = L _ {R} \cdot K _ {1} \cdot K _ {2}$$ $$K _ {1} = \left(\rho / \Delta \phi_ {E}\right) ^ {2} \tag {8.18}$$ $$K _ {2} = \exp \left(\pi Q ^ {2} / 4 (1 - Q ^ {2})\right)$$

修正因子 $K _ { 1 }$ $K _ { 2 }$ ,可以由观测资料计算出。因此新的射电光度公式无需额外的假定，在极冠模型的框架下，可由观测资料算出。但是其不足之处是，新的射电光度需要偏振资料，但是只有一小部分脉冲星有符合要求的偏振资料。

四，极冠几何模型的观测检验

极冠模型的几何关系是否正确，极冠模型所给出的辐射锥的形状和结构是否正确均需和观测进行定量的对比。重要的结果有如下几方面：

1，线偏振位置角变化曲线的拟合

观测可给出某一脉冲星偏振测量的一组不同脉冲经度处的位置角值( $\Psi _ { i } , \phi _ { i }$ )，根据公式

$$t g \Psi = \frac {\sin \phi \sin \alpha}{\cos \alpha \sin \theta - \cos \theta \sin \alpha \cos \phi} (8. 1 9)$$

式中Ψ和φ是偏振位置角曲线，为观测值， $\alpha$ 和θ是未知的。要由(8.9)式，用最小二乘法来拟合观测曲线，必需有知道 $\alpha$ 和θ两个量中的一个，由于磁倾角 $\alpha$ 在不是太小的情况下是一个不敏感参数，取其值为 60 度后，Manchester 等(1978 )给出的四颗脉冲星的结果，理论曲线和观测曲线符合得很好。见图(8.3) 。

图(8.3)

四颗脉冲星

线偏振位置

角观测曲线

的理论拟合

2，观测参量的理论拟合

线偏振位置角变化范围 $\Delta \Psi$ ，极大变化梯度 $\Phi$ 和视束宽 $\Delta \phi$ 的理论拟合成为检验极冠模型的重要的方法。这3个参数是极冠模型的几何关系中的观测量。我们(1983)曾导出它们之间应遵从如下的关系：

$$t g \frac {\Delta \Psi}{2} = \Phi \cdot \sin \Delta \phi \tag {8.20}$$

图(8.4a)给出理论曲线和观测分布的拟合，把 $\Delta \phi$ 作为参数。结果表明，一簇理论曲线基本上把观测的点都包含了，而参数 $\Delta \phi$ 的取值范围正好和样本观测值的范围一致。图(8.4b)是理论值 $\Delta \Psi _ { c o m }$ 和 $\Delta \Psi _ { o b s }$ 的关系。 $\Delta \Psi _ { c o m }$ 是根据(8.20)式，由 $\Phi$ , $\Delta \phi$ 的观测值计算得到的。实线是 $\Delta \Psi _ { c o m } = \Delta \Psi _ { o b s }$ 的情况，虚线则是回归直线，实线和虚线比较相近，说明(8.20)式基本正确。

图(8.4a) 三个观测参量之间

的理论关系和观测比对

图(8.4b) 理论值 $\Delta \Psi _ { c o m }$ 和观测值 $\Delta \Psi _ { o b s }$ 的关系。

3，辐射锥的形状

最早由Radhakrishnan和Cooke(1969)提出的极冠模型，认为脉冲星的辐射呈锥形，其截面为园。然而Jones(1980)和Narayan等(1983)提出辐射锥截面可能在纬向被拉长而呈椭园形。椭园的长短半轴之比分别为2 .5和3 .0 。我们(1988)和Lyne等(1988)同时得出新

的结论，即脉冲星辐射锥的截面基本上仍是园形。我们的结果给出椭园的长短半轴之比为1.2，但是短周期脉冲星的辐射截面在纬向有一定的拉长。辐射锥截面的形状对研究可观测到的脉冲星的几率、脉冲星的光度的估计等有着重要意义。因为，若在纬向有较大拉长而呈椭园形，那么观测到脉冲星的几率就要增加(即束因子要变化)。则银河系中可能观测到的脉冲星总数和诞生率均要比原先认为是园形时的情况小好几倍( 视椭率大小而定)。若是椭园，射电光度公式也需要作修正。

4，辐射锥的结构

极冠模型给出截面为园形的辐射锥(1969)，RS理论模型和极冠模型是一致的。但RS模型进一步指出，辐射锥是一个空心锥，中间部分的磁力线的较平直因而没有辐射，低频辐射部位比高频的辐射部位高。这些特点也被人们认为是极冠模型(几何)的重要特点。

Rankin(1983)仔细分析了大量的平均脉冲的观测资料发现除一颗脉冲星外均有中心成分，有些脉冲星的平均脉冲在低频时仅有中心成分，但到高频时，在脉冲的两翼出现两个峰。她提出新的辐射锥结构形态模型：即在中心有一个核，其辐射很强，外面有二个环带(外环和内环)，外环带较强，内环带较弱。这个经验模型可以定性解释形态各异的平均脉冲形状(单峰，双峰，三峰和五峰等)。

假定平均脉冲显示出的多峰结构是由多个独立的成分组成的，每一个成分的强度均遵从高斯分布，我们发展了一种严格的成分分离的方法，首先用于脉冲星PRS1451-68的多频段的观测资料的分析。结果令人鼓舞，原来公认脉冲星PSR1451-68的平均脉冲是三峰（成分），但我们分离的结果却是五峰(五成分)。由此提出其它三峰的平均脉冲很可能也是五成分。后来的分析研究证明了这个推论。PSR1451-68在6个频率上的平均脉冲的成分分离研究，给出了辐射锥立体结构。(见图(6.14))。